기초 문제 1
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부산대학교 수학과 1학년 해석학개론 수준의 문제입니다. 직접 δ 값을 구해보고 답을 확인하세요.
기초 2문제중급 3문제심화 23문제 🔒
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기초 문제 2
ε-δ 정의를 이용하여 lim(x→4) (x/2 + 1) = 3 을 증명하시오.
중급 문제 3
ε-δ 정의를 이용하여 lim(x→1) x³ = 1 을 증명하시오.
중급 문제 4
ε-δ 정의를 이용하여 lim(x→2) (x² + x) = 6 을 증명하시오.
중급 문제 5
ε-δ 정의를 이용하여 lim(x→4) √x = 2 를 증명하시오.
심화 🔒문제 6
ε-δ 정의를 이용하여, f(x)가 x=a에서 연속이고 f(a) > 0이면, a 근방에서 f(x) > 0임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 7
ε-δ 정의를 이용하여, lim(x→a) f(x) = L, lim(x→a) g(x) = M이면, lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L + M임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 8
ε-δ 정의를 이용하여, lim(x→a) f(x) = L, lim(x→a) g(x) = M이면, lim(x→a) f(x)g(x) = LM임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 9
ε-δ 정의를 이용하여, lim(x→a) f(x) = L 이면 임의의 상수 c에 대해 lim(x→a) [c·f(x)] = cL 임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 10
ε-δ 정의를 이용하여, lim(x→a) f(x) = L 이면 lim(x→a) |f(x)| = |L| 임을 증명하시오. 역은 성립하지 않음을 예로 보이시오.
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심화 🔒문제 11
ε-δ 정의를 이용하여 lim(x→2) 1/x = 1/2 를 증명하시오.
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심화 🔒문제 12
ε-δ 정의를 이용하여, lim(x→a) g(x) = M 이고 M ≠ 0 이면 lim(x→a) 1/g(x) = 1/M 임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 13
lim(x→a) f(x) = L, lim(x→a) g(x) = M (M ≠ 0) 이면 lim(x→a) f(x)/g(x) = L/M 임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 14
조임정리: 어떤 δ₀ > 0 이 존재하여 0 < |x − a| < δ₀ 에서 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 이고 lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L 이면 lim(x→a) f(x) = L 임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 15
극한의 유일성: lim(x→a) f(x) = L₁ 이고 lim(x→a) f(x) = L₂ 이면 L₁ = L₂ 임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 16
수학적 귀납법과 곱의 법칙을 이용하여, 임의의 자연수 n 과 실수 a 에 대해 lim(x→a) xⁿ = aⁿ 임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 17
합성함수의 연속성: f 가 a 에서 연속이고 g 가 b = f(a) 에서 연속이면, g∘f 가 a 에서 연속임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 18
ε-δ 정의를 이용하여 lim(x→0⁺) √x = 0 을 증명하시오. (우극한: 0 < x < δ)
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심화 🔒문제 19
ε-M 정의(∀ε>0, ∃M>0, x > M ⟹ |f(x) − L| < ε)를 이용하여 lim(x→∞) 1/x = 0 을 증명하시오.
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심화 🔒문제 20
무한대 극한의 정의(∀N>0, ∃δ>0, 0<|x−a|<δ ⟹ f(x) > N)를 이용하여 lim(x→0) 1/x² = ∞ 임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 21
lim(x→0) sin(1/x) 가 존재하지 않음을 증명하시오.
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심화 🔒문제 22
극한의 국소 유계성: lim(x→a) f(x) = L 이면 a 의 어떤 뚫린 근방에서 f 가 유계임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 23
부호 보존(강한 버전): lim(x→a) f(x) = L > 0 이면 a 의 어떤 뚫린 근방에서 f(x) > L/2 임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 24
f(x) = |x| 가 모든 실수 a 에서 연속임을 ε-δ 정의로 증명하시오.
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심화 🔒문제 25
ε-δ 정의를 이용하여 lim(x→1) (x² − 1)/(x − 1) = 2 임을 증명하시오. (극한의 정의에서 x ≠ 1)
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심화 🔒문제 26
lim(x→a) f(x) = L, L > 0, f(x) ≥ 0 이면 lim(x→a) √f(x) = √L 임을 증명하시오.
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심화 🔒문제 27
ε-δ 정의를 이용하여 lim(x→2) (x³ − 2x) = 4 를 증명하시오.
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심화 🔒문제 28
ε-δ 정의 또는 조임정리를 이용하여 lim(x→0) x·sin(1/x) = 0 임을 증명하시오.
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