✏️ 연습 문제 & 상세 풀이

기초부터 심화까지 단계별로 ε-δ 증명을 연습하세요. 모든 문제에 상세한 풀이 과정이 포함되어 있습니다.

기초문제 1

limx→3 (2x + 1) = 7 을 ε-δ 정의로 증명하시오.

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Step 1: 목표 설정

|f(x) − L| < ε 을 만족시키는 δ를 찾아야 합니다.

|f(x) − L| = |(2x + 1) − 7| = |2x − 6| = 2|x − 3|

Step 2: δ 후보 찾기 (Scratch Work)

2|x − 3| < ε 이 되려면
|x − 3| < ε/2
따라서 δ = ε/2 로 선택합니다.

Step 3: 깔끔한 증명

증명. 임의의 ε > 0이 주어졌다.
δ = ε/2 > 0 으로 놓자.
0 < |x − 3| < δ = ε/2 이면,
|(2x + 1) − 7| = |2x − 6| = 2|x − 3| < 2 · (ε/2) = ε
따라서 limx→3 (2x + 1) = 7 이다. ∎
💡 포인트: 일차함수 f(x) = ax + b의 경우, |f(x) − L| = |a| · |x − c| 이므로 δ = ε / |a| 로 선택하면 됩니다.
기초문제 2

limx→5 7 = 7 을 ε-δ 정의로 증명하시오.

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풀이

증명. 임의의 ε > 0이 주어졌다.
δ = 1 (또는 아무 양수)로 놓자.
0 < |x − 5| < δ 이면,
|f(x) − L| = |7 − 7| = 0 < ε
따라서 limx→5 7 = 7 이다. ∎
💡 포인트: 상수함수는 |f(x) − L| = 0 이므로, δ는 아무 양수나 가능합니다. 가장 쉬운 경우!
중급문제 3

limx→2 x² = 4 를 ε-δ 정의로 증명하시오.

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Step 1: 분석

|x² − 4| = |x + 2| · |x − 2|

|x − 2|는 제어 가능하지만, |x + 2|는 x에 따라 변합니다. 따라서 |x + 2|의 상한을 먼저 구해야 합니다.

Step 2: |x + 2| 바운드 설정

먼저 δ ≤ 1로 제한합니다.
|x − 2| < 1 이면 1 < x < 3
따라서 3 < x + 2 < 5
즉 |x + 2| < 5

Step 3: δ 결정

|x² − 4| = |x + 2| · |x − 2| < 5 · |x − 2|
5|x − 2| < ε 이려면 |x − 2| < ε/5
δ = min(1, ε/5) 로 선택합니다.

Step 4: 증명

증명. 임의의 ε > 0이 주어졌다.
δ = min(1, ε/5) > 0 으로 놓자.
0 < |x − 2| < δ 이면,

(i) δ ≤ 1 이므로 |x − 2| < 1, 즉 1 < x < 3
    따라서 |x + 2| < 5

(ii) δ ≤ ε/5 이므로 |x − 2| < ε/5

따라서 |x² − 4| = |x + 2| · |x − 2| < 5 · (ε/5) = ε
∴ limx→2 x² = 4 ∎
💡 핵심 테크닉: 이차 이상의 함수에서는 δ = min(1, ε/M) 형태를 사용합니다. 먼저 δ ≤ 1로 제한하여 변하는 부분의 상한 M을 구하고, 이를 이용해 δ를 결정합니다.
중급문제 4

limx→3 1/x = 1/3 을 ε-δ 정의로 증명하시오.

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Step 1: 분석

|1/x − 1/3| = |(3 − x) / (3x)| = |x − 3| / (3|x|)

분모에 |x|가 있으므로 x가 0에 가까울 때 발산할 수 있습니다. |x|의 하한이 필요합니다.

Step 2: |x|의 하한 설정

δ ≤ 1로 제한하면, |x − 3| < 1 이므로 2 < x < 4
따라서 |x| > 2, 즉 1/|x| < 1/2

Step 3: δ 결정 및 증명

|1/x − 1/3| = |x − 3| / (3|x|) < |x − 3| / (3 · 2) = |x − 3| / 6

|x − 3|/6 < ε 이려면 |x − 3| < 6ε
δ = min(1, 6ε)

증명. 임의의 ε > 0이 주어졌다.
δ = min(1, 6ε) 으로 놓자.
0 < |x − 3| < δ 이면,
δ ≤ 1이므로 2 < x < 4, 즉 |x| > 2
|1/x − 1/3| = |x − 3|/(3|x|) < |x − 3|/6 < 6ε/6 = ε
∴ limx→3 1/x = 1/3 ∎
💡 포인트: 유리함수는 분모의 하한을 확보하는 것이 핵심입니다. 먼저 δ ≤ 1로 제한하여 분모가 0에서 멀어지도록 만듭니다.
심화문제 5

limx→0 sin(1/x) 가 존재하지 않음을 ε-δ로 증명하시오.

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전략: 정의의 부정(Negation) 사용

극한이 존재하지 않음을 보이려면, 어떤 L을 잡아도 정의가 성립하지 않음을 보입니다.

정의의 부정:
∃ε > 0, ∀δ > 0,
∃x such that 0 < |x − 0| < δ 이지만 |f(x) − L| ≥ ε

증명

증명. 귀류법. limx→0 sin(1/x) = L 이라 가정하자.

ε = 1/2 로 놓으면, 어떤 δ > 0이 존재하여
0 < |x| < δ ⟹ |sin(1/x) − L| < 1/2

그런데, 임의의 δ > 0에 대해:
• x₁ = 1/(2nπ + π/2) (충분히 큰 n)을 택하면
  sin(1/x₁) = sin(2nπ + π/2) = 1
• x₂ = 1/(2nπ − π/2) 를 택하면
  sin(1/x₂) = sin(2nπ − π/2) = −1

삼각부등식에 의해:
2 = |1 − (−1)| = |sin(1/x₁) − sin(1/x₂)|
≤ |sin(1/x₁) − L| + |L − sin(1/x₂)|
< 1/2 + 1/2 = 1

이는 2 < 1이라는 모순.
따라서 극한은 존재하지 않는다. ∎
💡 핵심: 극한의 부정을 증명할 때는 (1) 정의의 논리적 부정을 정확히 쓰고, (2) 적절한 반례 수열을 찾는 것이 핵심입니다.
심화문제 6

limx→0 x² sin(1/x) = 0 을 ε-δ 정의로 증명하시오.

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Step 1: 핵심 관찰

|sin(1/x)| ≤ 1 (항상 성립)
따라서 |x² sin(1/x) − 0| = |x²| · |sin(1/x)| ≤ x²

Step 2: δ 선택

x² < ε 이려면 |x| < √ε
δ = √ε 로 선택합니다.

Step 3: 증명

증명. 임의의 ε > 0이 주어졌다.
δ = √ε > 0 으로 놓자.
0 < |x − 0| < δ = √ε 이면,

|x² sin(1/x) − 0| = x² · |sin(1/x)|
  ≤ x² · 1 = x²
  < (√ε)² = ε

∴ limx→0 x² sin(1/x) = 0 ∎
💡 포인트: |sin(1/x)| ≤ 1 이라는 바운드 덕분에 x²이 0으로 가는 것이 전체를 지배합니다. 이것이 조임 정리(Squeeze Theorem)의 ε-δ 버전입니다.